0　前言 

目前，板材沖壓成形過程的數(shù)值技術(shù)已取得了很大的進(jìn)展。根據(jù)有限元模擬技術(shù)預(yù)示的成形載荷、板材的幾何變形、應(yīng)力應(yīng)變分布和加工條件，調(diào)整模具的幾何形狀、材料等級(jí)或邊界條件，從而改進(jìn)模具設(shè)計(jì)。絕大多數(shù)沖壓過程應(yīng)用三維模型來分析，然而這種總體分析將面臨許多技術(shù)障礙，如大量的計(jì)算時(shí)間，繁雜的工具數(shù)據(jù)前處理以及未知的邊界條件等。然而，復(fù)雜沖壓件的許多局部變形常常可以近似地采用平面應(yīng)變的截面分析方法對成形過程加以模擬，而且這種截面分析方法所需的數(shù)據(jù)量極少，在有效的精度范圍內(nèi)能更快、更穩(wěn)定地對模具設(shè)計(jì)的合理性給出定量的評(píng)價(jià)。早在1980年，Hughes和Liu就給出了一個(gè)總的二維問題的非線性有限元公式。經(jīng)過多年的研究，1991年Keum、Wang、Saran和Wagoner編寫的有限元程序應(yīng)用線單元模擬了任意形狀的平面應(yīng)變截面深拉或脹形的成形過程。 

本文基于有限變形虛功率增量型原理的彈塑性大變形有限元理論，建立了比線單元精度更高的八節(jié)點(diǎn)四邊形單元平面應(yīng)變狀態(tài)的截面分析模型，用三次B一樣條曲線描述凸、凹模模具截面的幾何形狀，界面滑動(dòng)應(yīng)用庫侖摩擦定律，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)模具表面與板料之間的接觸判斷。該模型可在很短的時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過少量的數(shù)據(jù)處理，得到較理想的板料成形的模擬結(jié)果。文末用該模型數(shù)值模擬了金屬板料成形過程中的塑性流動(dòng)規(guī)律，并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果或三維有限元程序的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，證實(shí)了這種平面應(yīng)變的截面分析技術(shù)的正確性、可行性和高效性。 

1　有限元模型的建立 

采用逐級(jí)更新Lagrange法，在xi坐標(biāo)下以t時(shí)刻構(gòu)形為參考，取不同的表達(dá)方法，將對應(yīng)于不同的塑性本構(gòu)理論，本文采用的是“擬流動(dòng)角點(diǎn)理論”。 

2　接觸判斷與摩擦約束 

模具的截面曲線是由非均勻有理B樣條(NURBS)曲線來描述的。給定控制頂點(diǎn)位置矢量di，i＝0，1，…，n，次數(shù)k及確定節(jié)點(diǎn)的參數(shù)矢量u＝［u0,u1,…，un+k+1］，就定義了一條k次B樣條曲線。如若給出曲線定義域內(nèi)一參數(shù)值u∈［ui,ui+1］［uk,un+1］，欲計(jì)算該B樣條曲線上對應(yīng)一點(diǎn)位置矢量p(u)，采用德布爾算法 

模具的截面線是由若干段非均勻有理B樣條曲線來描述的。每段B樣條曲線采用疏密不同的點(diǎn)，即可以更好的描述模具的危險(xiǎn)截面，又可以提高接觸判斷的效率。 

所謂接觸判斷就是求出板料上的節(jié)點(diǎn)與模具表面的接觸點(diǎn)。根據(jù)模具不可穿透原則，對于計(jì)算后進(jìn)入模具的點(diǎn)，必須拉回到模具表面上來。截面分析采用八節(jié)點(diǎn)四邊形單元，節(jié)點(diǎn)的拉回方向?yàn)榘辶系姆ň�方向，并求出平均外法線與B樣條曲線的交點(diǎn)。首先要確定外法線與哪一段B樣條曲線相交，稱這一段B樣條曲線為目標(biāo)曲線。在每一步接觸判斷中，具體的工作就集中在求節(jié)點(diǎn)的外法線與目標(biāo)曲線的交點(diǎn)。再將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)調(diào)整到交點(diǎn)處，就完成了接觸判斷的幾何調(diào)整。 

對于已經(jīng)接觸到模具的節(jié)點(diǎn)，增量步內(nèi)的位移不再是自由位移，該節(jié)點(diǎn)必須沿著模具表面滑動(dòng)，在模具表面的截面上，板料節(jié)點(diǎn)i的x方向的位移增量Δuxi與y方向的位移增量Δuyi存在下列約束關(guān)系 

Δuyi＝kiΔuxi+Δy (8) 

式中　Δy——該增量步內(nèi)模具的位移 

　　　ki——模具截面線與節(jié)點(diǎn)i的接觸點(diǎn)的斜率 

在沖壓問題中，板料與模具接觸并發(fā)生了界面滑動(dòng)，必然存在界面滑動(dòng)摩擦�，F(xiàn)建立簡化的力學(xué)模型，如圖1b所示。t為板料節(jié)點(diǎn)N在模具的接觸點(diǎn)與模具相切的方向矢量，即為B樣條曲線的一階導(dǎo)矢，由于節(jié)點(diǎn)N沿沖頭滑動(dòng)，則滑動(dòng)切向方向矢量t與節(jié)點(diǎn)N的滑動(dòng)速度無關(guān)。采用庫侖摩擦定律，有 

Ff＝μFn (9) 

則在笛卡爾坐標(biāo)系下，節(jié)點(diǎn)N的切向摩擦力為 

Ft＝Fft (10) 

且可表示為 

Ft＝(-Fn2，F(xiàn)n1) (11) 

式中　Fn2，F(xiàn)n1——Ft在x軸和z軸上的投影 

3　截面分析數(shù)值算例 

3.1　方?jīng)_頭圓坯料成形過程的模擬 

方?jīng)_頭沖壓圓形坯料，現(xiàn)截取截面A進(jìn)行截面分析。 

庫侖摩擦系數(shù)μ 彈性模量E/GPa 泊松比γ 屈服點(diǎn)σs/MPa 硬化準(zhǔn)則 硬化指數(shù)n 板料厚度δ/mm 

0.15 200 0.3 147.9 σ＝cεn 0.2 1.0 

對于脹形問題，板料四周為固定約束，取單元數(shù)為120，節(jié)點(diǎn)數(shù)為603。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［6］采用三維厚曲殼單元的模擬結(jié)果幾乎重合，而前者模擬的計(jì)算時(shí)間僅為后者的7%。對于深拉延問題，板料四周受拉深筋阻力約束。采用平面應(yīng)變等效拉伸筋阻力模型［7］，取單元數(shù)為160，節(jié)點(diǎn)數(shù)為803。計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果［2］相比較，其中應(yīng)變分布圖如圖3b所示。計(jì)算結(jié)果表明：截面分析方法不僅具有高效率，而且可以獲得令人滿意的模擬結(jié)果。 

3.2　發(fā)動(dòng)機(jī)油底殼橫截面成形過程的模擬 

油底殼是汽車覆蓋件沖壓成形中典型的深拉延件。取油底殼的一個(gè)危險(xiǎn)截面。 

庫侖摩擦系數(shù)μ 彈性模量E/GPa 泊松比γ 屈服點(diǎn)σs/MPa 硬化準(zhǔn)則 硬化指數(shù)n 板料厚度δ/mm 

0.1 207 0.3 147.9 σ＝Kεn 0.2 1.0 

油底殼的成形過程為拉深過程，邊界條件為拉伸筋阻力。仍采用平面應(yīng)變等效拉伸筋阻力模型［7］，將坯料劃分成500單元，節(jié)點(diǎn)數(shù)為2503。若采用三維曲殼單元，需劃分整個(gè)油底殼成形坯料為16570個(gè)節(jié)點(diǎn)。在DEC/433工作站上分別進(jìn)行計(jì)算。兩者的計(jì)算時(shí)間相差近20倍，前者僅需十幾min即可完成全部模擬過程。計(jì)算得到的等效應(yīng)變分布如圖5a所示。將試驗(yàn)的油底殼沖壓件采用激光切割方法按計(jì)算選取的截面切割開來。 

——截面分析方法的模擬結(jié)果 

——三維殼單元的模擬結(jié)果　.——試驗(yàn)點(diǎn)

4　結(jié)論 

基于有限變形虛功率增量型原理建立的八節(jié)點(diǎn)四邊形彈塑性大變形二維截面分析有限元模型，模擬了方盒典型件脹形和深拉延及油底殼的深拉延成形過程。通過計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相比較，可以得出以下結(jié)論： 

(1)對邊界條件明顯且近似滿足平面應(yīng)變的截面，本方法可以比較精確的模擬其成形過程；對不完全滿足平面應(yīng)變條件的截面，也可以得到較嚴(yán)格的結(jié)果。 

(2)本模型有良好的求解效率，可在相當(dāng)短的時(shí)間內(nèi)完成油底殼橫截面的分析過程，從而大大提高了板料成形性的分析效率。 

(3)采用八節(jié)點(diǎn)四邊形單元，可以考慮板料上下表面的不同應(yīng)力、應(yīng)變情況，在保證求解效率的前提下，其計(jì)算精度要高于膜單元的二維截面分析。