普通杠桿表的測量原理是將測頭轉(zhuǎn)動角度的正弦值轉(zhuǎn)換放大為表盤指針的轉(zhuǎn)角。在測量過程中，若被測平面與測桿軸線間的夾角超過5°，就會引起較明顯的附加示值誤差。為了解決這一問題，我們設(shè)計制造了一種梨形測頭，如圖1所示。通過對裝有梨形測頭的杠桿表進行實測試驗，結(jié)果表明，即使被測平面與測桿軸線間的夾角達30°，也不會引起較明顯的附加示值誤差。采用梨形測頭可提高杠桿百分表和杠桿千分表的使用精度，具有一定推廣價值。

圖1

1．梨形測頭曲面的數(shù)學模型

　　測量過程對梨形測頭曲面有兩點基本要求：（1）在測量范圍內(nèi)，任意兩點之間的直線長度應有與之對應的一段弧長；（2）被測長度在曲面與被測平面的切點的法線上。由此可以判斷，梨形曲面應是一段漸開線的旋轉(zhuǎn)面，漸開線的基圓圓心在測桿的轉(zhuǎn)軸上，基圓半徑為測桿的理論長度，而測桿理論長度則應在消除了原測桿正弦機構(gòu)理論誤差的情況下重新計算出來。

　　梨形測頭在基圓以內(nèi)的部分仍然采用球面，其半徑為S_r，但該球面應與漸開線旋轉(zhuǎn)面吻合連接。

　　（1）基圓半徑R_d（即測桿長度）的計算

　　杠桿表測頭在圖2所示位置時，有

S＝αR／sinα＝c／sin（β－α）          （1）

β＝arcsin［（c／b)sin（S／R_d）］＋S／R_dd

b

式中　S——杠桿表量程

　　　α——測桿轉(zhuǎn)過的弧度

　　　β——扇形齒輪轉(zhuǎn)過的弧度

圖2

　　由圖2所示傳動關(guān)系β／2π＝Z₁／Z_f，Z₁／Z_x＝Z₂／Z_e可得

Z₁＝βZ／2π

Z₂＝βZ／2πZ_xfZ_ef

式中　Z_f——扇形齒輪齒數(shù)

　　　Z_x——軸齒輪齒數(shù)

　　　Z_e——端面齒輪齒數(shù)

　　　Z_n——指針軸齒輪齒數(shù)

　　　Z₁——Z_f與Z_x嚙合的齒數(shù)

　　　Z₂——Z_e與Z_n嚙合的齒數(shù)

若杠桿表指針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為rad，則有

rad＝2πZ₂／Z_n＝βZ／Z_xZ_nfZ_e

令rad＝2π，則有

β＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e

將上式與（1）式比較可得

　　arcsin［（c／b）sin（S／R_d）］＋S／R_d＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e

或�。�c／b）sin（S／R_d）－sin［（2πZ_xZ_n／Z_fｓ_e）－（S／R_d）］＝0      （2）

　　由（2）式即可求解出R_d

　　用牛頓法求解R_d的Qbasic程序為：

　　10　INPUT　b，c，S

　　20　LET　Rd＝16

　　30　LET　Bita＝ANT（1）?8?Zx?Zn／Zf／Ze

　　40　LET　Y＝c／b?SIN（S／Rd）－SIN（Bita－S／Rd）

　　50　LET　Yd＝S／Rd＾2?（COS（Bita－S／Rd）－c／b?COS（S／Rd））

　　60　LET　Rd＝Rd－Y／Yd

　　70　IF　ABS（－Y／Yd／Rd）＝0．00001　THEN　90

　　80　GOTO　30

　　90　PRINT　“Rd＝”；Rd

　　100　END

　�。�2）極坐標方程的建立

　　如圖3所示，首先計算梨形曲面漸開線的起始角A。。

圖3

θ＝arctg（S_r／R_d）

　　A＝（π／2）－θ＝（π／2）－arctg（S_r／R_d）

　　梨形曲面的極坐標方程為

ρ＝R_d／cost

invt＝tgt－ｓ

式中　ρ——極徑

　　　t——壓力角（rad）

　　　invt——展開角（極角）

　　（3）球面半徑S_r的計算

　　如圖1所示，如果設(shè)定允許測桿偏離軸線的角度為t₀，則

θ₀＝tgt₀－t₀

S_r＝R_dtgθ₀＝R_dtg（tgt₀－t₀）

　　注意：測頭根部半徑為S_r的球面的球心高于基圓。

2．漸開線型面坐標點的計算

　　漸開線型面的直角坐標方程為

求漸開線型面坐標點的Qbasic程序如下：

　　10　INPUT　Rd，Sr

　　20　LET　A＝ATN（1）?2－ATN（Sr／Rd）

　　30　PRINT　“t”，“x”，“y”

　　40　FOR　t＝0　TO　1　STEP　0．01

　　50　LET　p＝Rd／COS（t）

　　60　LET　INVt＝TAN（t）－t

　　70　LET　x＝p?COS（INVt＋A）

　　80　LET　y＝p?SIN（INVt＋A）

　　90　PRINT　t，x，y

　　100　IF　x＝0　THEN　120

　　110　NEXT　t

　　120　END

　　利用此程序求梨形測頭頂點的方法如下：運行一次程序后，用倒數(shù)第二個t值代替第40語句中“＝”號后的數(shù)，并把“STEP”后的數(shù)乘以0．01。如此反復操作，直至y值在萬分位之前不發(fā)生變化為止。這一y值就是頂點M（0，Y_max）中的Y_max值。然后用求極值的方法求X_max，計算公式為

　　令，則

sin（tgt－t＋A）tgt＝cos（tgt－t＋A）

　　從而解出

　　代入（3）式得

　　由此可求出梨形測頭的腰徑為

φ＝2R_darctg（S_r／R_d）＝2R_darctg［tg（tgt_o－t_o）］＝2R_d（tgt_o－t_o）

　　為便于在數(shù)控車床上加工梨形測頭，在程序的40語句中選擇適當?shù)腟TEP的值，得到60多個坐標點，并將含有X_max的N點和含有Y_max的M點納入其中，在設(shè)計圖上制成表示坐標點的表格。最后在視圖上標出與梨形測頭的頂點、腰徑和漸開線基圓等有關(guān)的其它尺寸。