普通杠桿表的測量原理是將測頭轉動角度的正弦值轉換放大為表盤指針的轉角。在測量過程中，若被測平面與測桿軸線間的夾角超過5°，就會引起較明顯的附加示值誤差。為了解決這一問題，我們設計制造了一種梨形測頭，如圖1所示。通過對裝有梨形測頭的杠桿表進行實測試驗，結果表明，即使被測平面與測桿軸線間的夾角達30°，也不會引起較明顯的附加示值誤差。采用梨形測頭可提高杠桿百分表和杠桿千分表的使用精度，具有一定推廣價值。

圖1

1．梨形測頭曲面的數學模型

　　測量過程對梨形測頭曲面有兩點基本要求：（1）在測量范圍內，任意兩點之間的直線長度應有與之對應的一段弧長；（2）被測長度在曲面與被測平面的切點的法線上。由此可以判斷，梨形曲面應是一段漸開線的旋轉面，漸開線的基圓圓心在測桿的轉軸上，基圓半徑為測桿的理論長度，而測桿理論長度則應在消除了原測桿正弦機構理論誤差的情況下重新計算出來。

　　梨形測頭在基圓以內的部分仍然采用球面，其半徑為S_r，但該球面應與漸開線旋轉面吻合連接。

　　（1）基圓半徑R_d（即測桿長度）的計算

　　杠桿表測頭在圖2所示位置時，有

S＝αR／sinα＝c／sin（β－α）          （1）

β＝arcsin［（c／b)sin（S／R_d）］＋S／R_dd

b

式中　S——杠桿表量程

　　　α——測桿轉過的弧度

　　　β——扇形齒輪轉過的弧度

圖2

　　由圖2所示傳動關系β／2π＝Z₁／Z_f，Z₁／Z_x＝Z₂／Z_e可得

Z₁＝βZ／2π

Z₂＝βZ／2πZ_xfZ_ef

式中　Z_f——扇形齒輪齒數

　　　Z_x——軸齒輪齒數

　　　Z_e——端面齒輪齒數

　　　Z_n——指針軸齒輪齒數

　　　Z₁——Z_f與Z_x嚙合的齒數

　　　Z₂——Z_e與Z_n嚙合的齒數

若杠桿表指針轉過的弧度數為rad，則有

rad＝2πZ₂／Z_n＝βZ／Z_xZ_nfZ_e

令rad＝2π，則有

β＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e

將上式與（1）式比較可得

　　arcsin［（c／b）sin（S／R_d）］＋S／R_d＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e

或　（c／b）sin（S／R_d）－sin［（2πZ_xZ_n／Z_fｓ_e）－（S／R_d）］＝0      （2）

　　由（2）式即可求解出R_d

　　用牛頓法求解R_d的Qbasic程序為：

　　10　INPUT　b，c，S

　　20　LET　Rd＝16

　　30　LET　Bita＝ANT（1）?8?Zx?Zn／Zf／Ze

　　40　LET　Y＝c／b?SIN（S／Rd）－SIN（Bita－S／Rd）

　　50　LET　Yd＝S／Rd＾2?（COS（Bita－S／Rd）－c／b?COS（S／Rd））

　　60　LET　Rd＝Rd－Y／Yd

　　70　IF　ABS（－Y／Yd／Rd）＝0．00001　THEN　90

　　80　GOTO　30

　　90　PRINT　“Rd＝”；Rd

　　100　END

　�。�2）極坐標方程的建立

　　如圖3所示，首先計算梨形曲面漸開線的起始角A。。

圖3

θ＝arctg（S_r／R_d）

　　A＝（π／2）－θ＝（π／2）－arctg（S_r／R_d）

　　梨形曲面的極坐標方程為

ρ＝R_d／cost

invt＝tgt－ｓ

式中　ρ——極徑

　　　t——壓力角（rad）

　　　invt——展開角（極角）

　�。�3）球面半徑S_r的計算

　　如圖1所示，如果設定允許測桿偏離軸線的角度為t₀，則

θ₀＝tgt₀－t₀

S_r＝R_dtgθ₀＝R_dtg（tgt₀－t₀）

　　注意：測頭根部半徑為S_r的球面的球心高于基圓。

2．漸開線型面坐標點的計算

　　漸開線型面的直角坐標方程為

求漸開線型面坐標點的Qbasic程序如下：

　　10　INPUT　Rd，Sr

　　20　LET　A＝ATN（1）?2－ATN（Sr／Rd）

　　30　PRINT　“t”，“x”，“y”

　　40　FOR　t＝0　TO　1　STEP　0．01

　　50　LET　p＝Rd／COS（t）

　　60　LET　INVt＝TAN（t）－t

　　70　LET　x＝p?COS（INVt＋A）

　　80　LET　y＝p?SIN（INVt＋A）

　　90　PRINT　t，x，y

　　100　IF　x＝0　THEN　120

　　110　NEXT　t

　　120　END

　　利用此程序求梨形測頭頂點的方法如下：運行一次程序后，用倒數第二個t值代替第40語句中“＝”號后的數，并把“STEP”后的數乘以0．01。如此反復操作，直至y值在萬分位之前不發(fā)生變化為止。這一y值就是頂點M（0，Y_max）中的Y_max值。然后用求極值的方法求X_max，計算公式為

　　令，則

sin（tgt－t＋A）tgt＝cos（tgt－t＋A）

　　從而解出

　　代入（3）式得

　　由此可求出梨形測頭的腰徑為

φ＝2R_darctg（S_r／R_d）＝2R_darctg［tg（tgt_o－t_o）］＝2R_d（tgt_o－t_o）

　　為便于在數控車床上加工梨形測頭，在程序的40語句中選擇適當的STEP的值，得到60多個坐標點，并將含有X_max的N點和含有Y_max的M點納入其中，在設計圖上制成表示坐標點的表格。最后在視圖上標出與梨形測頭的頂點、腰徑和漸開線基圓等有關的其它尺寸。