六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)關(guān)節(jié)零位偏差的標(biāo)定算法
發(fā)布日期:2012-08-10 蘭生客服中心 瀏覽:4024
1.引言
六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)是一種新型的非笛卡爾式坐標(biāo)測量機(jī)。它仿照人體關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu),以角度基準(zhǔn)取代長度基準(zhǔn),將六個(gè)桿件和一個(gè)測頭通過六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)連接,一端固定在機(jī)座上,另一端(測頭)可在空間自由運(yùn)動(dòng),構(gòu)成一個(gè)六自由度的封閉球形測量空間。與傳統(tǒng)的笛卡爾式三坐標(biāo)測量機(jī)相比,它具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單,體積小,測量范圍大,靈活方便等優(yōu)點(diǎn),主要應(yīng)用于CAD/CAM中三維模型表面數(shù)字化和大型零部件幾何尺寸的現(xiàn)場檢測等領(lǐng)域[1,2]。
六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)在裝配過程中,由于角度光電編碼器的零位與關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的理論零位不重合而產(chǎn)生的角度偏差,稱為關(guān)節(jié)零位偏差。其特點(diǎn)是:各關(guān)節(jié)的零位偏差各不相同;由于裝配工藝誤差不可避免,關(guān)節(jié)零位偏差較大(約±3°);對于每臺(tái)裝配好的關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī),各關(guān)節(jié)零位偏差值固定不變,屬于系統(tǒng)誤差。由于桿長的放大作用,關(guān)節(jié)零位偏差在末端測頭處產(chǎn)生很大的位姿誤差。因此,為了補(bǔ)償關(guān)節(jié)零位偏差,提高測量精度,對關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)進(jìn)行標(biāo)定是非常重要的。
2.?dāng)?shù)學(xué)模型
圖 六自由度關(guān)節(jié)式坐
標(biāo)測量機(jī)結(jié)構(gòu)模型六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)從機(jī)械結(jié)構(gòu)上可以看成是串聯(lián)的開式運(yùn)動(dòng)鏈。其結(jié)構(gòu)模型如圖所示(各坐標(biāo)系的Y軸由“右手法則”確定)。
參見圖示,將測頭局部坐標(biāo)系O7-X7Y7X7相對于基座參考坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0的位姿記為T07,這是一個(gè)4×4的齊次矩陣,可描述為
T07=A01A12A23A34A45A56A67 。1)
式中,Ai-1i(i=1,…,7)是桿件i相對于桿件i-1的齊次位姿變換矩陣。Denavit和Hartenberg在1995年提出了兩個(gè)相互連接且相對運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件之間相互關(guān)系的分析方法,并給出了相應(yīng)的齊次變換矩陣[3],即
(2)
式中,θi是關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角,這里是變量,稱為關(guān)節(jié)變量;φi是相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的夾角,這里近似為直角;ai是相鄰關(guān)節(jié)軸線沿空間公垂線的距離,這里近似為0;di是相鄰桿件坐標(biāo)原點(diǎn)沿Z軸之間的距離,這里稱為桿長。
對于多關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī),測頭在空間的姿態(tài)并不重要,而測頭的空間位置坐標(biāo)則是需要得到的。將式(1)、(2)合并后,測頭位置坐標(biāo)方程為
P=(R1R2R3R4R5R6)q7+(R1R2R3R4R5)q6+R1R2R3R4)q5
。R1R2R3)q4+(R1R2)q3+R1q2+q1 (3)
式中包括三個(gè)坐標(biāo)分量方程,都是關(guān)節(jié)變量的函數(shù),即
P=F(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6) 。4)
為了得到關(guān)節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間的關(guān)系,假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差足夠小,對式(4)求全微分,近似得到測頭位置誤差方程為[4]
(5)
將式(5)用矩陣方式簡單描述,即
ΔP=JδΔδ (6)
式中 ΔP=(ΔPx ΔPy ΔPz)T
Δδ=(Δθ1 Δθ2 Δθ3 Δθ4 Δθ5 Δθ6)T
由式(4)和式(6)即可得到描述關(guān)節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間關(guān)系的線性方程。
3.標(biāo)定算法
為測定各關(guān)節(jié)零位偏差值,需要一系列已知標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo),這些標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)可以通過高精度的三坐標(biāo)測量機(jī)測得。設(shè)有m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo),關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的測頭分別觸測這些標(biāo)準(zhǔn)位置,由光電編碼器分別得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角,將這些關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分別代入方程式(4),計(jì)算出測頭的理論位置坐標(biāo),然后與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)比對,得到m個(gè)測頭位置誤差。把這些數(shù)據(jù)代入式(6),可得到3×m個(gè)位置誤差方程,即
ΔQ=GΔδ (7)
其中
式(7)中有6個(gè)未知量,只要3×m>6,則可運(yùn)用最小二乘法求解出關(guān)節(jié)零位偏差,即
Δδ=(GTG)-1GTΔQ (8)
把計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差值作為零位偏差的修正量代入式(4),計(jì)算出新的測頭位置坐標(biāo),然后將新的位置誤差和新的系數(shù)矩陣代入式(7),再重復(fù)式(8)的計(jì)算。經(jīng)過以上的反復(fù)迭代過程,直到測頭位置誤差小于設(shè)定值,最后獲得最優(yōu)解,即最接近實(shí)際的關(guān)節(jié)零位偏差值。
4.仿真驗(yàn)算
為了進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)算,首先設(shè)定六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(φi,ai,di),并假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差(Δθi),具體數(shù)值列于表1。
表1 六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)
桿件 序號(hào) | φi(°) | ai(mm) | di(mm) | 零位偏差 Δθi(°) |
1 | -90.1 | 0.01 | 99.85 | 2.4 |
2 | 90.05 | 0.02 | 151.38 | 。2.05 |
3 | 90 | 。0.01 | 448.6 | 。1.5 |
4 | -89.9 | 。0.03 | 101.1 | 2.2 |
5 | 。90.05 | 0.01 | 352.2 | 1.2 |
6 | 89.35 | 0.005 | 99.75 | 。1.8 |
7 | 0 | 0 | 150.25 | 0 |
在驗(yàn)算中,對標(biāo)定算法重復(fù)進(jìn)行了三次仿真計(jì)算。每次隨機(jī)選取3組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合,根據(jù)表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)零位偏差,按式(4)計(jì)算出3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)際)的空間坐標(biāo)矢量。同時(shí),不考慮零位偏差,計(jì)算出3個(gè)理論坐標(biāo)矢量,并得到相應(yīng)的誤差矢量。根據(jù)式(5)、(6)、(7),可得到9個(gè)誤差方程。利用式(8)求解出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差值。為了獲得更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),采用迭代算法,將計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差值代入式(4)修正理論模型,重復(fù)以上過程,直到空間位置誤差小于一設(shè)定值(這里設(shè)為0.3mm)。三次仿真計(jì)算的結(jié)果列于表2。 表2 仿真驗(yàn)算結(jié)果 |
仿真 次數(shù) | 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合 (θ1,…,θ6) (°) | 標(biāo)準(zhǔn)坐 標(biāo)矢量 (mm) | 位置 誤差 (mm) | 迭代1次 | 迭代2次 | 迭代3次 | 迭代4次 | |||||||||||||||||||||||
零位 誤差 (°) | 位置 誤差 (mm) | 零位 誤差 (°) | 位置 誤差 (mm) | 零位 誤差 (°) | 位置 誤差 (mm) | 零位 誤差 (°) | 位置 誤差 (mm) | |||||||||||||||||||||||
1 | (-90,-90,0,90, 0,90) | 138.558 575.782 -283.282 | 39.968 | 2.406 -2.063 -1.432 2.177 1.776 -1.375 | 1.717 | 2.406 -2.063 -1.490 2.177 1.719 -1.776 | 1.483 | 2.406 -2.063 -1.490 2.177 1.203 -1.776 | 0.148 | 2.406 -2.063 -1.492 2.182 1.203 -1.781 | 0.146 | |||||||||||||||||||
(120,90,120,-20, 70,50) | -652.092 645.842 202.687 | 30.043 | 1.201 | 0.955 | 0.206 | 0.206 | ||||||||||||||||||||||||
(-90,0,0,90, 0,0) | 142.57 522.883 503,83 | 49.592 | 0.732 | 0.801 | 0.244 | 0.232 | ||||||||||||||||||||||||
2 | (-90,10,10,90, 10,10) | 61.557 434.09 594.691 | 49.319 | 2.521 -1.948 -1.432 2.464 1.146 -1.261 | 1.479 | 2.406 -2.063 -1.490 2.181 1.203 -1.781 | 0.212 | |||||||||||||||||||||||
(0,90,0,-90, 0,90) | 320.85 157.437 -251.305 | 23.654 | 1.155 | 0.230 | < | < | ||||||||||||||||||||||||
(-120,140,20,60, 10,150) | -148.998 -518.998 -237.442 | 39.30 | 2.176 | 0.082 | ||||||||||||||||||||||||||
3 | (50,-80,50,40, -60,40) | -463.903 -760.076 176.659 | 73.57 | 2.349 -2.120 -1.432 2.292 1.146 -1.432 | 0.603 | 2.406 -2.063 -1.490 2.180 1.203 -1.781 | 0.068 | |||||||||||||||||||||||
(10,80,30,150, 30,140) | 186.165 160.292 290.97 | 26.475 | 0.894 | 0.069 | < | < | ||||||||||||||||||||||||
(40,30,60,150, 90,-90) | 179.32 102.388 101.179 | 17.161 | 0.898 | 0.122 |
由仿真驗(yàn)算結(jié)果可得出以下結(jié)論:
。1)較小的關(guān)節(jié)零位偏差會(huì)引起很大的測頭位置誤差,最大可達(dá)73.57mm;
。2)本文給出的標(biāo)定算法是正確的,經(jīng)標(biāo)定得出的關(guān)節(jié)零位偏差值與設(shè)定的真值近似,最大誤差為0.02°;
(3)迭代算法是收斂的,一般不超過4次迭代;
。4)三次仿真計(jì)算所得結(jié)果相同,說明只要在測量空間任取三點(diǎn),即可準(zhǔn)確且唯一地標(biāo)定出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差。
5.結(jié)語
本文在Denavit-Hartenberg方法基礎(chǔ)上,建立了六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的數(shù)學(xué)模型。從模型可以看出,測頭末端位置坐標(biāo)與六個(gè)關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系是非線性的,這對于由已知空間坐標(biāo)值來推算關(guān)節(jié)零位偏差是相當(dāng)困難的。因此,我們運(yùn)用全微分方法,求得了關(guān)節(jié)零位偏差與測頭末端位置誤差之間的線性關(guān)系,從而大大簡化了標(biāo)定過程。在已知空間點(diǎn)坐標(biāo)情況下,應(yīng)用最小二乘法和有限次數(shù)的迭代運(yùn)算,求出最優(yōu)的關(guān)節(jié)零位偏差值。最后,通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)算,證明了該算法的正確性。該標(biāo)定算法也完全適用于其它結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的標(biāo)定。該標(biāo)定算法對提高六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機(jī)的測量精度具有重要意義。
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