六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機關(guān)節(jié)零位偏差的標定算法

發(fā)布日期:2012-08-10    蘭生客服中心    瀏覽:4017

1.引言

  六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機是一種新型的非笛卡爾式坐標測量機。它仿照人體關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu),以角度基準取代長度基準,將六個桿件和一個測頭通過六個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)連接,一端固定在機座上,另一端(測頭)可在空間自由運動,構(gòu)成一個六自由度的封閉球形測量空間。與傳統(tǒng)的笛卡爾式三坐標測量機相比,它具有機械結(jié)構(gòu)簡單,體積小,測量范圍大,靈活方便等優(yōu)點,主要應(yīng)用于CAD/CAM中三維模型表面數(shù)字化和大型零部件幾何尺寸的現(xiàn)場檢測等領(lǐng)域[1,2]。

  六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機在裝配過程中,由于角度光電編碼器的零位與關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的理論零位不重合而產(chǎn)生的角度偏差,稱為關(guān)節(jié)零位偏差。其特點是:各關(guān)節(jié)的零位偏差各不相同;由于裝配工藝誤差不可避免,關(guān)節(jié)零位偏差較大(約±3°);對于每臺裝配好的關(guān)節(jié)式坐標測量機,各關(guān)節(jié)零位偏差值固定不變,屬于系統(tǒng)誤差。由于桿長的放大作用,關(guān)節(jié)零位偏差在末端測頭處產(chǎn)生很大的位姿誤差。因此,為了補償關(guān)節(jié)零位偏差,提高測量精度,對關(guān)節(jié)式坐標測量機進行標定是非常重要的。

  2.數(shù)學模型

圖 六自由度關(guān)節(jié)式坐

  標測量機結(jié)構(gòu)模型六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機從機械結(jié)構(gòu)上可以看成是串聯(lián)的開式運動鏈。其結(jié)構(gòu)模型如圖所示(各坐標系的Y軸由“右手法則”確定)。

  參見圖示,將測頭局部坐標系O7-X7Y7X7相對于基座參考坐標系O0-X0Y0Z0的位姿記為T07,這是一個4×4的齊次矩陣,可描述為

T07A01A12A23A34A45A56A67       。1)

式中,Ai-1ii=1,…,7)是桿件i相對于桿件i-1的齊次位姿變換矩陣。Denavit和Hartenberg在1995年提出了兩個相互連接且相對運動的構(gòu)件之間相互關(guān)系的分析方法,并給出了相應(yīng)的齊次變換矩陣[3],即

      。2)

式中,θi是關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角,這里是變量,稱為關(guān)節(jié)變量;φi是相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的夾角,這里近似為直角;ai是相鄰關(guān)節(jié)軸線沿空間公垂線的距離,這里近似為0;di是相鄰桿件坐標原點沿Z軸之間的距離,這里稱為桿長。

  對于多關(guān)節(jié)坐標測量機,測頭在空間的姿態(tài)并不重要,而測頭的空間位置坐標則是需要得到的。將式(1)、(2)合并后,測頭位置坐標方程為

  P=(R1R2R3R4R5R6q7+(R1R2R3R4R5q6R1R2R3R4q5

   。R1R2R3q4+(R1R2q3R1q2q1            (3)

式中包括三個坐標分量方程,都是關(guān)節(jié)變量的函數(shù),即

PFθ1,θ2,θ3θ4,θ5θ6)      。4)

  為了得到關(guān)節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間的關(guān)系,假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差足夠小,對式(4)求全微分,近似得到測頭位置誤差方程為[4]

     (5)

  將式(5)用矩陣方式簡單描述,即

ΔPJδΔδ     (6)

式中 ΔP(ΔPx ΔPy ΔPzT

  

  Δδ=(Δθ1 Δθ2 Δθ3 Δθ4 Δθ5 Δθ6T

  由式(4)和式(6)即可得到描述關(guān)節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間關(guān)系的線性方程。

  3.標定算法

  為測定各關(guān)節(jié)零位偏差值,需要一系列已知標準位置坐標,這些標準位置坐標可以通過高精度的三坐標測量機測得。設(shè)有m個標準位置坐標,關(guān)節(jié)式坐標測量機的測頭分別觸測這些標準位置,由光電編碼器分別得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角,將這些關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分別代入方程式(4),計算出測頭的理論位置坐標,然后與標準坐標比對,得到m個測頭位置誤差。把這些數(shù)據(jù)代入式(6),可得到3×m個位置誤差方程,即

ΔQGΔδ     (7)

其中

式(7)中有6個未知量,只要3×m>6,則可運用最小二乘法求解出關(guān)節(jié)零位偏差,即

Δδ=(GTG-1GTΔQ     (8)


  把計算出的關(guān)節(jié)零位偏差值作為零位偏差的修正量代入式(4),計算出新的測頭位置坐標,然后將新的位置誤差和新的系數(shù)矩陣代入式(7),再重復(fù)式(8)的計算。經(jīng)過以上的反復(fù)迭代過程,直到測頭位置誤差小于設(shè)定值,最后獲得最優(yōu)解,即最接近實際的關(guān)節(jié)零位偏差值。

  4.仿真驗算

  為了進行計算機仿真驗算,首先設(shè)定六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機的結(jié)構(gòu)參數(shù)(φi,ai,di),并假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差(Δθi),具體數(shù)值列于表1。

表1 六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機結(jié)構(gòu)參數(shù)





























































桿件

序號

φi(°) ai(mm) di(mm) 零位偏差

Δθi(°)

1 。90.1  0.01  99.85   2.4
2  90.05  0.02  151.38  -2.05
3  90 。0.01  448.6 。1.5
4 。89.9  -0.03  101.1   2.2
5 。90.05  0.01  352.2   1.2
6  89.35  0.005  99.75  -1.8
7  0  0  150.25   0









  在驗算中,對標定算法重復(fù)進行了三次仿真計算。每次隨機選取3組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合,根據(jù)表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)零位偏差,按式(4)計算出3個標準(實際)的空間坐標矢量。同時,不考慮零位偏差,計算出3個理論坐標矢量,并得到相應(yīng)的誤差矢量。根據(jù)式(5)、(6)、(7),可得到9個誤差方程。利用式(8)求解出6個關(guān)節(jié)零位偏差值。為了獲得更準確的數(shù)據(jù),采用迭代算法,將計算出的關(guān)節(jié)零位偏差值代入式(4)修正理論模型,重復(fù)以上過程,直到空間位置誤差小于一設(shè)定值(這里設(shè)為0.3mm)。三次仿真計算的結(jié)果列于表2。

表2 仿真驗算結(jié)果






































































































































仿真

次數(shù)

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合

(θ1,…,θ6

(°)

標準坐

標矢量

(mm)

位置

誤差

(mm)

迭代1次 迭代2次 迭代3次 迭代4次
零位

誤差

(°)

位置

誤差

(mm)

零位

誤差

(°)

位置

誤差

(mm)

零位

誤差

(°)

位置

誤差

(mm)

零位

誤差

(°)

位置

誤差

(mm)

1 (-90,-90,0,90,

0,90)

138.558

575.782

-283.282

39.968 2.406

-2.063

-1.432

2.177

1.776

-1.375

1.717 2.406

-2.063

-1.490

2.177

1.719

-1.776

1.483 2.406

-2.063

-1.490

2.177

1.203

-1.776

0.148 2.406

-2.063

-1.492

2.182

1.203

-1.781

0.146
(120,90,120,-20,

70,50)

-652.092

645.842

202.687

30.043 1.201 0.955 0.206 0.206
(-90,0,0,90,

0,0)

142.57

522.883

503,83

49.592 0.732 0.801 0.244 0.232
2 (-90,10,10,90,

10,10)

61.557

434.09

594.691

49.319 2.521

-1.948

-1.432

2.464

1.146

-1.261

1.479 2.406

-2.063

-1.490

2.181

1.203

-1.781

0.212        
(0,90,0,-90,

0,90)

320.85

157.437

-251.305

23.654 1.155 0.230 < <    
(-120,140,20,60,

10,150)

-148.998

-518.998

-237.442

39.30 2.176 0.082    
3 (50,-80,50,40,

-60,40)

-463.903

-760.076

176.659

73.57 2.349

-2.120

-1.432

2.292

1.146

-1.432

0.603 2.406

-2.063

-1.490

2.180

1.203

-1.781

0.068        
(10,80,30,150,

30,140)

186.165

160.292

290.97

26.475 0.894 0.069 < <    
(40,30,60,150,

90,-90)

179.32

102.388

101.179

17.161 0.898 0.122    



  由仿真驗算結(jié)果可得出以下結(jié)論:

  (1)較小的關(guān)節(jié)零位偏差會引起很大的測頭位置誤差,最大可達73.57mm;

 。2)本文給出的標定算法是正確的,經(jīng)標定得出的關(guān)節(jié)零位偏差值與設(shè)定的真值近似,最大誤差為0.02°;

 。3)迭代算法是收斂的,一般不超過4次迭代;

  (4)三次仿真計算所得結(jié)果相同,說明只要在測量空間任取三點,即可準確且唯一地標定出6個關(guān)節(jié)零位偏差。

  5.結(jié)語

  本文在Denavit-Hartenberg方法基礎(chǔ)上,建立了六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機的數(shù)學模型。從模型可以看出,測頭末端位置坐標與六個關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系是非線性的,這對于由已知空間坐標值來推算關(guān)節(jié)零位偏差是相當困難的。因此,我們運用全微分方法,求得了關(guān)節(jié)零位偏差與測頭末端位置誤差之間的線性關(guān)系,從而大大簡化了標定過程。在已知空間點坐標情況下,應(yīng)用最小二乘法和有限次數(shù)的迭代運算,求出最優(yōu)的關(guān)節(jié)零位偏差值。最后,通過計算機仿真驗算,證明了該算法的正確性。該標定算法也完全適用于其它結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的標定。該標定算法對提高六自由度關(guān)節(jié)式坐標測量機的測量精度具有重要意義。

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