摘要　文章討論了四次EB樣條的構(gòu)造、算法及性質(zhì)，論述了三坐標測量機檢測數(shù)據(jù)的四次EB樣條曲線曲面的擬合，運用快速迭代算法建立了被測零件輪廓面的誤差評定模型。并給出了應(yīng)用實例。

關(guān)鍵詞　三坐標測量機　EB樣條　誤差評定

Application of quartic BE-spline based on CMM

Chen Hua, et al

　　在復(fù)雜機械零件（如弧面分度凸輪）、模具等帶有復(fù)雜三維空間曲面零件制造、測量及CAD的造型中，常常需要對三維空間曲面進行描述與控制，從而在計算機屏幕上生成圖形或滿足NC加工的需要、或?qū)�測量的數(shù)據(jù)擬合成樣條曲面（曲線）以滿足誤差評定的需要。本文討論的四次EB樣條曲線曲面通過引入幾何意義十分明顯的可調(diào)參數(shù)，大大提高了曲線曲面的擬合程度。

1　四次EB樣條

1.1　四次EB樣條曲線

　　四次EB樣條曲線P_i(t)是由基本曲線G_i(t)經(jīng)調(diào)配曲線F_i(t)調(diào)配而成的。即

P_i（t）=G_i（t）+kF_i（t）

(0≤t≤1;i=1,2…，n-3) (1)

　　引入k值可以通過改變它對曲線的形狀進行調(diào)整，使其與特征多邊形的差異可大可小。當(dāng)k=0時，P_i（t）=G_i（t），四次EB樣條曲線就是基本曲線，成為特征頂點的插值曲線。基本曲線段的起始點和終止點通過相應(yīng)的特征多邊形頂點r_i+1,r_i+2;如果按某種方式拓寬兩個控制頂點r₀和r_n+1,則可使曲線｛G_i（t）｝通過所有的給定頂點r₁,r₂，…，r_n。如果這n個給定點是某條曲線上的型值點，則曲線就是這n個型值點的插值曲線^［1］。

　　四次EB樣條曲線的矢值方程式為

1.2　四次EB樣條曲面

　　四次EB樣條曲面可以看作是U、V兩個方向EB樣條曲線的直積。給定m×n個空間位置向量r_i,j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)構(gòu)造曲面，其矢值方程式為

1.3　四次EB樣條的特性^［2］

　　（1）由于在EB樣條方程中引入了一個幾何意義比較明顯的參量K，使設(shè)計者能直觀地對樣條曲線（曲面）的形狀進行調(diào)整，從而使特征多邊形的差異可大可小。

　�。�2）四次EB樣條可應(yīng)用給定的一些特殊的特征頂點來生成含有直線和尖點的曲線。

　�。�3）四次EB樣條曲線段端點處的切矢僅與基本曲線段有關(guān)，而與調(diào)配曲線段無關(guān)。

　�。�4）用四次EB樣條曲線（曲面）作插值曲線（曲面）時，其設(shè)計方法和計算方法均不變，僅需將參量K取為零，這對計算程序的編制極為有用。

　　(5)當(dāng)K=1/6時，四次EB樣條曲線（曲面）又成了B樣條曲線（曲面）。由此可見，四次EB樣條曲線（曲面）是B樣條曲線（曲面）的拓廣。

2　測量數(shù)據(jù)擬合曲面的誤差評定

　　在評定三坐標測量機的擬合曲面與實測數(shù)據(jù)間的誤差時，需計算空間實測點到擬合曲面的距離。本文運用了一種快速迭代收斂算法^{［3，4］}求空間任一點到擬合曲面的距離。

　　設(shè)P（x，y，z）為曲面外空間一點，求P點到參數(shù)曲面∑s（u，w）的距離。其中Q_i（u_i,w_i）為曲面上任意一點，作為P點在曲面上的映射點，是迭代初始點。Q_i+1（u_i+1,w_i+1）為P點在曲面上的垂足。∑s(u,w)為Q_i點的切平面，S為PQ_i+1在切平面上的交點。當(dāng)Q_i與Q_i+1重合時,PQ_i+1為所求點到曲面的距離。Q^u_i,Q^w_i為Q_i在u,w方向上的兩個切向量。因此有

　　若PQ_i+1為點到曲面的距離，則必然S與Q_i+1重合，S亦為該點在曲面上的垂足。根據(jù)微分幾何點到平面的距離為最小距離的條件得

　　搜索方法是，求出（11）式中的Δu,Δw。當(dāng)（Δu、Δw）＞ε時（ε是任意給定小的正數(shù)），用Q_i+1代替Q_i進行下一輪計算。當(dāng)（Δu、Δw）＜ε時迭代停止，此時

PQ_i+1=P-Q_i+1=P-Q_i=P-S=d

由于規(guī)定曲面法矢指向?qū)嶓w之外，所以P在實體之外時d＞0,P在實體之內(nèi)時d＜0。

3　應(yīng)用實例

　　弧面分度凸輪機構(gòu)（見圖2）由于結(jié)構(gòu)緊湊,傳遞扭矩大，特別適用于高速、高精度分度。因其分度運動曲線，可設(shè)計成適于各種工作場合的最優(yōu)運動曲線，從而在運動平穩(wěn)性、降噪、延長機構(gòu)使用壽命等方面都具有良好性能。圖3是由四次EB樣條生成的弧面分度凸輪張量積曲面的輪廓面光照圖，其形狀為一空間螺旋帶。

　　在秦川機床廠和慶安公司的協(xié)助下，分別用LK及UKM三坐標測量機，以徑向、旋向兩種方法對弧面分度凸輪的樣件進行了測量。根據(jù)以上的測量和誤差評定方法，用Visual C++開發(fā)了弧面分度凸輪的誤差評定軟件。取樣件設(shè)計參數(shù)見附表。圖4所示為樣件在R=57mm的螺旋線上的誤差曲線圖。該零件設(shè)計要求：曲線誤差± 0.05mm，輪廓度公差帶為0.1mm的雙向等距配置。對該零件的評定結(jié)果為：凸輪半徑57mm的螺旋線輪廓度誤差0.147mm，面輪廓度誤差 0.165mm。

測量樣件設(shè)計參數(shù)表

圖4　旋向掃描螺旋線誤差曲線